DS. N° 06 Évolution d’un système siège d'une réaction nucléaire

DS. N° 06

Évolution d’un

système siège d’une

transformation nucléaire

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Exercices

Exercices 2024

DS 01 : La découverte de la radioactivité artificielle et ses applications (60 min)

DS 02 : Datation à l’uranium 238 (40 min)

Préparation à l'ECE : Le technétium

DS 01 : La découverte de la radioactivité artificielle et ses applications (60 min)

En 1934, Irène et Frédéric JOLIOT – CURIE découvrirent la radioactivité artificielle.

Ils produisirent du phosphore 30 radioactif par bombardement d’une cible contenant de l’aluminium 27 stable avec des particules α.

Ces particules provenaient d’une source de radium contenant majoritairement l’isotope 226.

1. La découverte de la radioactivité artificielle.

a. Définir une particule α et donner son symbole.

b. Établir l’équation de la réaction de désintégration radioactive du radium 226.

c. En utilisant le diagramme (N, Z) ci-dessous, déterminer le type de désintégration radioactive associée au phosphore 30

puis établir l’équation de la réaction de désintégration radioactive du phosphore 30.

extrait de diagramme (N, Z)

d. Calculer le nombre N (t) de noyaux radioactifs restants dans un échantillon de phosphore 30 contenant initialement N₀ = 1000 noyaux radioactifs,

au bout d’une durée égale à 13 min.

2. Utilisation du technétium 99 en médecine nucléaire.

Le technétium 99 est utile en médecine nucléaire car il s’associe à de nombreuses molécules.

Sa demi-vie courte permet de réduire l’irradiation du patient.

On injecte à un patient une dose dont l’activité en technétium 99 est A₀ = 400 MBq.

La courbe représentant l’activité de cet échantillon en fonction du temps est donnée ci-dessous :

a. Donner la définition de la demi-vie et déterminer celle du technétium 99.

b. L’activité est considérée comme négligeable au bout de t = 20 t_1/2. Calculer sa valeur.

c. Un patient reçoit une injection un lundi à 15 h 00. L’examen se finit à 18 h 30.

Calculer l’activité due au technétium 99 encore présent dans le corps du patient à la fin de l’examen,

puis déterminer à quelle date (jour et heure) l’activité sera négligeable dans son organisme.

- Données :

- Radon Rn (Z = 86), francium Fr (Z = 87), Radium Ra (Z = 88) ;

- Actinium Ac (Z = 89), thorium Th (Z = 90) ;

- Aluminium Aℓ (Z = 13) ; silicium Si (Z = 14), phosphore P (Z = 15)

Le phosphore 30 se désintègre en donnant un noyau de silicium 30 et sa demi-vie est égale à 3 minutes

Correction

DS 02 : Datation à l’uranium 238 (40 min)

L’uranium 238 est un noyau radioactif que l’on trouve dans les roches et qui, après des désintégrations successives, se transforme en plomb 206 stable.

La quantité de plomb présent dans la roche augmente proportionnellement avec l’âge de celle-ci.

La mesure de la quantité de plomb dans un échantillon de roche ancienne permet de déterminer l’âge de la roche.

1. À partir de la courbe de décroissance de l’uranium 238 (graphique A), déterminer la demi-vie de ce noyau radioactif, puis calculer sa constante radioactive λ.

2. Déterminer graphiquement le nombre N₀ de noyaux d’uranium 238 présents initialement dans l’échantillon de roche

puis exprimer le nombre de noyaux N (t) d’uranium 238, encore présents en résolvant l’équation différentielle suivante :

- équation différentielle

3. Sachant qu’un noyau d’uranium se désintègre en donnant un noyau de plomb 206,

déterminer la relation entre le nombre N₀ de noyaux d’uranium 238 présents initialement dans la roche,

celui N (t) des noyaux encore présents au bout de la durée t et le nombre N_Pb de noyaux de plomb formés.

Une modélisation de la courbe de température depuis les débuts de la Terre a permis de mettre en évidence cinq ères glaciaires (graphique B).

4. L’analyse de l’échantillon de roche datant de la fin de la première ère interglaciaire révèle qu’il y a 0,5 × 10¹² noyaux de plomb 206 présents.

Cette mesure est-elle compatible avec la fin de la première ère interglaciaire sur Terre ?

A. Courbe de décroissance de l’uranium 238.

B. Évolution de la température sur la planète Terre.

Correction

DS 01 : La découverte de la radioactivité artificielle et ses applications (60 min)

1. La découverte de la radioactivité artificielle.

a. Particule α et symbole.

- La particule émise est une particule α : un noyau d’hélium 4.

- , ion He²⁺.

b. Équation de la réaction de désintégration radioactive du radium 226.

- Une réaction de désintégration radioactive est modélisée par une équation.

- Cette équation vérifie les lois de conservation suivantes :

- Conservation du nombre de charge Z.

- Conservation du nombre de masse A.

- Radioactivité α :

- Radioactivité α

- Noyau-père : radium 226

- Noyau-fils : radon 222

- Nombre de masse : A – 4

- Nombre de charge : Z – 2

- Nombre de neutrons : A – Z – 2

c. Type de désintégration radioactive associée au phosphore 30 et équation de la réaction de désintégration radioactive du phosphore 30.

- Le phosphore 30 est émetteur β⁺.

- Il émet un positon :

- émetteur β+

- Le noyau-fils se trouve :

- une ligne au-dessous du phosphore 30

- et une colonne à droite du phosphore 30 :

extrait de diagramme (N, Z)

- radioactivité β+

d. Nombre N (t) de noyaux radioactifs restants au bout d’une durée égale à 13 min.

- L’évolution, au cours du temps, du nombre N (t) de noyaux radioactifs d’un échantillon peut être modélisée par la loi de décroissance radioactive :

N (t) = N₀ . exp ( – λ . t) ou N (t) = N₀ e ^{– λ . t}
N (t)	Nombre de noyaux radioactifs présents à la date t
N₀	nombre de noyaux présents à la date t₀ = 0 s
λ	Constante radioactive (s ^–1)
t	Temps (s)

- λ est la constante de désintégration (ou de décroissance) radioactive s ^–1.

- Le phosphore 30 se désintègre en donnant un noyau de silicium 30 et sa demi-vie est égale à 3 minutes 15 secondes.

- t_1/2 = 3 × 60 + 15

- t_1/2 = 195 s

- demi-vie

- N (t)

- Application numérique :

- N (t) = 63 noyaux

2. Utilisation du technétium 99 en médecine nucléaire.

a. Définition de la demi-vie et demi-vie du technétium 99.

- Définition :

- Pour un type de noyaux radioactifs, la demi-vie t_1/2 est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présent dans l’échantillon se sont désintégrés.

- Exploitation graphique :

- La demi-vie t_1/2 ≈6,0 h

b. Valeur de l’activité au bout de t = 20 t_1/2:

- La décroissance de l’activité suit la même loi que la décroissance du nombre de noyau radioactif d’un échantillon.

A (t) = A₀ . exp ( – λ . t) ou A (t) = A₀ e ^{– λ . t}
A (t)	Activité de l’échantillon radioactif à la date t
A₀	Activité de l’échantillon radioactif à la date t₀ = 0 s
λ	Constante radioactive (s ^–1)
t	Temps (s)

- En utilisant la relation suivante :

- demi-vie

- A (t)

- Activité au bout de t = 20 t_1/2

- A (t) = 381 Bq

- L’activité due au technétium est alors très faible.

- Le corps humain a une activité A ≈ 10 ⁴ Bq,

c. Activité due au technétium 99 encore présent dans le corps du patient à la fin de l’examen, et date (jour et heure).

- Activité en fin d’examen : 15 h 00 → 18 h 30

- t = 3,5 h et t_1/2 = 6,0 h

- A (t) = 2,7 E8 Bq

- L’activité due au technétium est encore importante.

- L’activité est considérée comme négligeable au bout de t = 20 t_1/2

- t ≈ (20 × 6,0) / 24

- t ≈ 5 jours

- Un patient reçoit une injection le lundi à 15 h 00 :

- L’activité due au technétium est négligeable le samedi à 15 h 00.

DS 02 : Datation à l’uranium 238 (40 min)

1. Détermination de la demi-vie de l’uranium 238 et valeur de sa constante radioactive λ.

- Définition :

- Pour un type de noyaux radioactifs, la demi-vie t_1/2 est la durée au bout de laquelle la moitié

des noyaux radioactifs initialement présent dans l’échantillon se sont désintégrés.

- Détermination graphique :

- t_1/2 ≈ 4,5 × 10⁹ ans

- Constante radioactive λ :

- Constante radioactive λ : 1,5 E-10 par an

2. Détermination graphique de N₀ de noyaux d’uranium 238 présents initialement dans l’échantillon de roche

puis expression du nombre de noyaux N (t) d’uranium 238, encore présents :

- N₀ ≈ 5,0 × 10¹² noyaux

- Équation différentielle :

- Équation différentielle

- On est en présence d’une équation différentielle du premier ordre sans second membre.

- La solution de cette équation différentielle du premier ordre donne la loi de décroissance radioactive :

- L’évolution, au cours du temps, du nombre N (t) de noyaux radioactifs d’un échantillon peut être modélisée par la loi de décroissance radioactive :

N (t) = N₀ . exp ( – λ . t) ou N (t) = N₀ e ^{– λ . t}
N (t)	Nombre de noyaux radioactifs présents à la date t
N₀	nombre de noyaux présents à la date t₀ = 0 s
λ	Constante radioactive (s ^–1)
t	Temps (s)

- λ est la constante de désintégration (ou de décroissance) radioactive s ^–1.

- La grandeur N₀ est liée aux conditions initiales :

- N (0) = N₀ . exp ( – λ × 0)

- N (0) = N₀ ≈ 5,0 × 10¹² noyaux

- N (t) = 5,0 × 10¹² × exp ( – λ . t)

3. Relation entre le nombre N₀ de noyaux d’uranium 238 présents initialement dans la roche,

celui N (t) des noyaux encore présents au bout de la durée t et le nombre N_Pb de noyaux de plomb formés.

- N₀ ≈ 5,0 × 10¹² noyaux

- Au cours du temps les noyaux d’uranium 238 se désintègrent pour donner des noyaux de plomb 206.

- Au temps t = 0, le nombre de noyaux d’uranium 238 présents est : N₀

- Au temps t, le nombre de noyaux d’uranium 238 présents est : N (t)

- Au temps t, le nombre de noyaux de plomb formés est : N₀ – N (t)

- N₀ = N (t) + N_Pb

4. Compatibilité de la mesure avec la fin de la première ère interglaciaire sur Terre :

- Échantillon de roche datant de la fin de la première ère interglaciaire révèle qu’il y a :

- N_Pb = 0,5 × 10¹² noyaux

- Date de la fin de la première ère interglaciaire (document B):

- t ≈ 490 × 10⁶ ans

- t ≈ 0,5 × 10⁹ ans

- N₀ ≈ 5,0 × 10¹² noyaux

- N (t) = N₀ – N_Pb

- N (t) = 5,0 × 10¹² – 0,5 × 10¹²

- N (t) = 4,5 × 10¹² ans

- Exploitation graphique :

- Cette mesure est compatible avec la fin de la première ère interglaciaire sur Terre.