I- Lois de Kepler.

1)- Historique.

- Pour Ptolémée (II ^e siècle), la Terre autour de laquelle tourne le Soleil est le centre du Monde.

- Copernic est  à l’origine du système héliocentrique (1543). 

- Dans ce référentiel, les neuf planètes du système solaire ont des trajectoires quasi circulaires dont le centre est le Soleil.

- Kepler (1571 – 1630) utilisant les travaux de son maître Tycho Brahé (1546 – 1601)

-  formule les trois lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.

2)- Les lois de Kepler.

a)- Première loi : la loi des trajectoires

- Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers.

- Remarque : le cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus avec le centre.

- Définition d’une ellipse : une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes F et F’ (les foyers) est une constante : 

- r₁ + r₂ = 2 a. 

- Le grand axe de l’ellipse est égal à 2 a.

-  La distance entre les deux foyers est 2 c.

Schéma : animation

b)- Deuxième loi : Loi des aires.

- Le segment de droite qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

- Il résulte de ceci que la planète se déplace plus vite lorsqu’elle se rapproche du Soleil. 

- En toute rigueur, le mouvement d’une planète n’est pas uniforme.

 c)- Troisième loi : Loi des périodes.

- Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi-grand axe a de la trajectoire et le carré de la période T de révolution est la même :

-  .

- Cette constante ne dépend pas de la masse de la planète.

- Si  la trajectoire est circulaire, on peut écrire que :  

-  .

II- Le système Solaire.

1)- Planètes et Satellites.

- Les neuf Planètes gravitent approximativement dans le même plan autour d’une étoile centrale : 

- Le Soleil.

-  Ce plan qui contient le centre du Soleil est appelé : Plan de l’écliptique.

- Le système Solaire comprend : 

-  le Soleil,  les planètes ( Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton) et des satellites naturels ou artificiels.

- Les trajectoires des planètes sont des ellipses très voisines de cercles (sauf pour Pluton qui joue un rôle un peu particulier).

- Dans le référentiel Héliocentrique, le mouvement du centre d'une planète autour du Soleil est quasiment circulaire.

-  Le centre de chaque trajectoire circulaire coïncide presque avec le centre du Soleil.

- La Terre possède un seul satellite naturel (La Lune) et un nombre important de satellites artificiels.

2)- Loi de gravitation Universelle.

- Schéma :

- Expression vectorielle :

-  Principe de l’action et de la réaction :

- 

-  G est la constante de gravitation Universelle : G ≈ 6,67 x 10^{– 11} m³. kg ^{– 1} . s^{– 2}.

- La loi de gravitation Universelle s’applique au corps à répartition sphérique de masse comme les planètes.

- Application :  

-  Calculer  la valeur des forces d’attraction Soleil –Terre et Terre–Soleil.

-  Pourquoi une seule de ces actions est perceptible ? Laquelle ?

- Données :

- Valeur des forces : d’après le principe de l’action et de la réaction :

- 

- L’action du Soleil sur la Terre est perceptible car :

- 

3)- Le référentiel héliocentrique.

- C’est un solide imaginaire constitué par le centre S du Soleil et de 3 axes d’origine S parallèles aux directions de trois étoiles lointaines fixes.

- Le référentiel héliocentrique est galiléen.

- On peut considérer que les planètes du système solaire ont un mouvement quasi circulaire uniforme dans le référentiel héliocentrique.

4)- Le référentiel géocentrique.

Animation : CABRIJAVA

- C’est un solide imaginaire constitué par le centre T de la Terre et de 3 axes d’origine T parallèles aux directions de trois étoiles lointaines fixes.

- Le référentiel géocentrique est galiléen pour des durées d’étude inférieures à 365 j.

- Il n’est pas entraîné  dans le mouvement de rotation de la Terre.

-  Dans ce référentiel, la Terre est animée d’un mouvement de rotation de période T = 24 h.

- On peut considérer que les satellites de la Terre ont un mouvement quasi circulaire uniforme dans le référentiel géocentrique.

III- Mouvements des planètes et des satellites.

1)- Le mouvement circulaire uniforme.

a)- Caractéristiques du mouvement circulaire uniforme.

- Considérons un point mobile M animé d’un mouvement circulaire uniforme.

- La trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R  et la valeur de la vitesse ne change pas au cours du temps.

- Pour simplifier l’étude d’un tel mouvement et en déduire les caractéristiques, il faut utiliser le repère de Frenet :

- 

-   désigne un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

-   désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à et orienté vers  le centre O du cercle.

- Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point considéré .

-  Le vecteur vitesse change de direction à chaque instant.

- Pour obtenir les coordonnées du vecteur accélération, il faut dériver cette expression par rapport au temps.

-   (1) ceci se dérive comme un produit.

- Le vecteur accélération peut se décomposer de la façon suivante :

- 

- R est le rayon de la trajectoire circulaire.

- En conséquence, le vecteur accélération peut être décomposé en une :

- Accélération tangentielle qui dépend de la variation de la valeur de la vitesse.

- Accélération normale qui est liée à la variation de la direction du vecteur vitesse.

- Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme :

- 

- L’accélération est radiale et centripète.

-  Elle est dirigée vers le centre de la trajectoire.

2)- Satellites terrestres.

3)- Le Satellite géostationnaire.

1)- Détermination de la masse d’une planète.

2)- QCM :

3)- exercices :