►  Troisième étape : Étude dynamique :

-  Bilan des forces : Inventaire des actions mécaniques que subit le système

-  Avec quoi le système est-elle en interaction ?

-  Interaction avec la Terre (champ de pesanteur uniforme) :

-  La balle est soumise à son poids .

-  La balle est en interaction avec l’air qui l’entoure.

-  On peut négliger la poussée d’Archimède et les forces de frottements.

-  On peut donner les coordonnées des différentes forces et vecteurs dans le repère choisi :

-  Application de la deuxième loi de Newton :

-  Comme la masse m de la balle ne varie pas au cours du temps, on peut en déduire la relation suivante :

-   

-  D’où :

-   

►  Quatrième étape : Étude cinématique.

-  On peut donner les coordonnées du vecteur accélération dans le repère d’étude :

	et
De l’équation (1), on tire

-  Le but est de trouver les équations horaires du vecteur vitesse et du vecteur position de la balle.

 De l’accélération à la vitesse :

-  On utilise la relation :

- 

-  Le vecteur accélération  est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse .

-  La détermination du vecteur vitesse nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée du vecteur accélération en tenant compte des conditions initiales.

-  On cherche les primitives des équations précédentes.

-  Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

D’après les conditions initiales

 De la vitesse à la position.

-  On opère de la même façon :

-   

-  Le vecteur vitesse  est la dérivée par rapport au temps du vecteur position .

-  La détermination du vecteur position nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée du vecteur vitesse en tenant compte des conditions initiales.

D’après les conditions initiales

-  Remarques :

-  Le mouvement suivant l'axe x'Ox est rectiligne uniforme.

-  Le mouvement suivant l'axe y'Oy est rectiligne uniformément varié.

-  Le mouvement de G est contenu dans le plan (x'x, y'y) appelé plan de tir.

-  Il contient le vecteur .

 De la position à la trajectoire.

-  La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps.

-  On élimine le temps t pour trouver la relation entre les coordonnées x et y du vecteur position.

-  Comme le mouvement a lieu dans le plan (xOy) :

-   y = f (x).

- La trajectoire de G est une portion de parabole contenue dans un plan vertical contenant le vecteur vitesse .  

-  Elle est liée aux conditions initiales.

-  Chronophotographie et animation CabriJava.

Vidéo01

Vidéo02

 Animation CabriJava

2)- Cas d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme.

a)-  Le champ électrique uniforme. 1sph07.htm

-  Un champ électrique est dit uniforme dans une région de l’espace si le vecteur champ  conserve en tout point de cette région, la même direction, le même sens et la même valeur.

-  Un condensateur plan est formé par deux plateaux conducteurs parallèles A et B appelés armatures, séparés par un isolant de faible épaisseur d.

-  Dans l’espace situé entre les armatures, le champ électrique  :

-  Est considéré comme uniforme,

-  Sa direction est perpendiculaire aux armatures,

-  Son sens est dirigé de l’armature positive vers l’armature négative (sens des potentiels décroissants),

-  Son intensité (sa valeur) :

b)-  Application :

-  Un électron M de masse m, porte la charge électrique q = – e.

-  L’électron M pénètre, dans le vide, avec le vecteur vitesse , faisant un angle α avec l’horizontale à l'intérieur d'un condensateur plan.

-  L’électron M coïncide avec O à la date t = 0 s.

  Appliquer l’étude précédente à l’électron.

-  Données : m = 9,1 × 10^–31 kg ; Charge : q = – e = – 1,6 × 10^–19 C

-  E = 4,7 × 10³ V / m ; g = 9,81 N / kg

c)-  Les différentes étapes de l’étude :

►  Première étape : Définition du système :

-  Système S : électron M de masse m et de charge q.

►  Deuxième étape : Référentiel d’étude et conditions initiales :

-  Référentiel terrestre supposé galiléen

-  Le repère d’espace choisi  :  contient le vecteur vitesse  et le vecteur champ électrique .

-  Position et vitesse du mobile au temps t = 0 s

►  Troisième étape : Étude dynamique :

-  Bilan des forces : inventaire des forces extérieures exercées sur l’électron.

-  Son poids .

-  La force électrostatique

-  L’électron se déplace dans le vide, il n’y a pas d’interaction avec l’air.

-  Comparaison de F_e et P.

-  F_e = e . E ≈ 1,6 × 10^–19 × 4,7 × 10³ 

-  F_e ≈ 7,5 × 10^–19 N

-  P = m . g ≈ 9,1 × 10^–31 × 9,81

-   P ≈ 8,9 x 10^–30 N

-   

-  En conséquence, P << F_e, on peut négliger les effets du poids devant celui de la force électrostatique F_e.

-  En conséquence, l’électron n’est soumis qu’à la force électrostatique .

-  Coordonnées des différentes forces et vecteurs dans le repère choisi :

-  Application de la deuxième loi de Newton :

-  Comme la masse m de l’électron ne varie pas au cours du temps, on peut en déduire la relation suivante :

-   

-  D’où :

-   

►  Quatrième étape : Étude cinématique.

-  On peut donner les coordonnées du vecteur accélération dans le repère d’étude :

	et
De l’équation (1), on tire

-  Ainsi par recherche des primitives, on retrouve les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur position.

 De l’accélération à la vitesse :

D’après les conditions initiales

 De la vitesse à la position :

D’après les conditions initiales

 De la position à la trajectoire :

-  Équation de la trajectoire : on élimine le temps t entre x et y pour exprimer y = f (x).

-   

-  La trajectoire de l’électron est une portion de parabole.

Animation CabriJava

-  Déviation d’un faisceau d’électrons (oscilloscope)

II- Mouvement des satellites et des planètes.

1)- Description par la deuxième loi de Newton.

a)-  Application :

-  On étudie le mouvement d’un satellite S, de masse m, assimilé à un point matériel, en orbite autour de la Terre de centre O et de masse M_T.

-  On considère que le satellite décrit une orbite circulaire de rayon R = OS.

  Appliquer l’étude précédente au satellite S.

b)-  Les différentes étapes de l’étude :

►  Première étape : Définition du système :

-  Système S : Satellite S de masse m.

►  Deuxième étape : Référentiel d’étude

-  Référentiel géocentrique supposé galiléen.

-  Pour simplifier l’étude d’un tel mouvement et en déduire les caractéristiques, il faut utiliser le repère de Frenet :

-  Repère mobile lié au satellite

-   

-  : désigne un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

-  : désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à  et orienté vers le centre O du cercle.

►  Troisième étape : Étude dynamique :

-  Bilan des forces : inventaire des forces extérieures exercées sur le satellite.

-  Le satellite est en interaction avec la Terre : force d’interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite :

-  Le satellite est aussi en interaction avec les autres astres de l’Univers : cette interaction est négligeable devant celle exercée par la Terre.

-  Le satellite est en interaction avec l’atmosphère de la Terre qui entraîne des forces de frottements.

-  Dans notre étude, on négligera cette interaction devant celle exercée par la Terre.

-  On considère que le satellite n’est soumis qu’à la seule force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre.

-   

-  Application de la deuxième loi de Newton :

-  Comme la masse m du satellite ne varie pas au cours du temps, on peut en déduire la relation suivante :

-   

-  D’où :

-   

-  Le vecteur accélération est centripète, il est orienté vers le centre de la trajectoire.

►  Quatrième étape : Étude cinématique.

-  Comme on est en présence d’un mouvement circulaire,

-  D’autre part, la relation (1) indique que :

-   

-  On en déduit que :

-  De l’accélération à la vitesse :

-   

-  Le satellite est animé d’un mouvement circulaire uniforme.

-  D’autre part :

-   

-  La valeur de la vitesse du satellite est indépendante de sa masse.

-  Relation en fonction de l’altitude h du satellite

-  On note R = R _T + h, ou h désigne l’altitude du satellite :

-   

-  La vitesse du satellite diminue lorsque l’altitude augmente.

-  Expression de la période T : Durée nécessaire pour effectuer un tour :

-   

-  La période de révolution d’un satellite est indépendante de sa masse m, elle dépend entre autres du rayon de la trajectoire.

-  La période de révolution d’un satellite augmente avec le rayon de sa trajectoire.

2)- Description des lois de Kepler.

a)-  Historique.

-  Pour Ptolémée (II ^e siècle), la Terre autour de laquelle tourne le Soleil est le centre du Monde.

-  Copernic est à l’origine du système héliocentrique (1543).

-  Dans ce référentiel, les neuf planètes du système solaire ont des trajectoires quasi circulaires dont le centre est le Soleil.

-  Kepler (1571 – 1630) utilisant les travaux de son maître Tycho Brahe (1546 – 1601) formule les trois lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.

b)-  Première loi : la loi des trajectoires

 Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers.

-  Remarque : le cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus avec le centre.

-  Définition d’une ellipse :

-  Une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes F et F’ (les foyers) est une constante : r₁ + r₂ = 2 a.

-  Le grand axe de l’ellipse est égal à 2 a.

-  La distance entre les deux foyers est 2 c.

-  Schéma : Animation

c)-   Deuxième loi : Loi des aires.

 Le segment de droite qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

-  Il résulte de ceci que la planète se déplace plus vite lorsqu’elle se rapproche du Soleil.

-  En toute rigueur, le mouvement d’une planète n’est pas uniforme.

d)-  Troisième loi : Loi des périodes.

 Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi-grand axe a de la trajectoire et le carré de la période T de révolution est la même :

-  .

-  Cette constante ne dépend pas de la masse de la planète.

-  Si la trajectoire est un cercle de rayon R, on peut écrire que :

-  .

-  Cette constante peut être calculée.

-  Exemple :

-  Dans le cas du système solaire, on peut donner l’expression de la période de révolution d’une planète du système solaire :

-   

-  En élevant cette expression au carré et en ordonnant, on peut écrire :

-   

-  La constante s’identifie à .

-  En conséquence, on peut déterminer la masse du Soleil à partir de la période de révolution T et du rayon R de l’orbite d’une planète à trajectoire circulaire.

III- Applications.

1)- QCM

2)- Exercices :  Exercices : énoncé avec correction

a)-  Exercice 9 page 172 : Étudier le lancer du poids.

b)-  Exercice 10 page 173 : Faire une analyse dimensionnelle.

c)-  Exercice 17 page 174 : Étude du canon à électrons.

d)-  Exercice 18 page 175 : Neptune et Galatée.

e)-  Exercice 20 page 176 : Poids et force électrostatique.

f)-  Exercice 21 page 176 : De l’optique avec des électrons.

g)-  Exercice 22 page 177 : Quelle est la masse de Jupiter.

h)-  Exercice 26 page 179 : Principe du spectromètre de masse.