Exercices : 7 page 242

Exercices : 11 page 243.

QCM N° 05
Cinématique et
dynamique newtonienne
Sous forme de tableau

QCM N° 06
Applications des lois de
Newton et Kepler
Sous forme de tableau

Un glaçon de masse m = 10 g glisse sur un plan incliné d’un angle α = 20 ° par rapport à l’horizontale.

Les frottements qui s’exercent sur la glaçon, ainsi que la poussée d’Archimède, sont négligeables par rapport aux autres forces.

a)- Déterminer les caractéristiques du vecteur accélération du centre d’inertie G du glaçon le long du plan incliné.

b)- Déterminer les valeurs des forces s’exerçant sur le glaçon.

Un glaçon de masse m = 10 g glisse sur un plan incliné d’un angle α = 20 ° par rapport à l’horizontale.

Les frottements qui s’exercent sur la glaçon, ainsi que la poussée d’Archimède, sont négligeables par rapport aux autres forces.

a)- Déterminer les caractéristiques du vecteur accélération du centre d’inertie G du glaçon le long du plan incliné.

- Schéma :

- Le glaçon est soumis à son poids  et à la réaction du support .

Le vecteur accélération a même direction et même sens que le vecteur  .

- Ceci découle de la deuxième loi de Newton :

-  ou

- Méthode 1 :

- Le mouvement a lieu sur le plan incliné, en conséquence, la somme vectorielle des composantes perpendiculaires au plan incliné est nulle.

- Or

- caractéristiques de la résultante :  :

-  direction : ligne de plus grande pente du plan incliné ;

-  sens ; orienté vers le bas ;

-  valeur : F_R = m g sin α.

- On en déduit les caractéristiques de  :

-  direction : ligne de plus grande pente du plan incliné ;

-  sens ; orienté vers le bas ;

-  valeur : a_G =  g sin α  ≈ 3,4 m / s ².

-  Méthode 2 :

- On travaille dans le repère

- Schéma :

- Coordonnées des vecteurs et  dans le repère .

- 

- La deuxième loi de Newton permet d’écrire :

- 

- Le mouvement a lieu sur le plan incliné, en conséquence, la somme vectorielle des composantes perpendiculaires au plan incliné est nulle.

- On en déduit les caractéristiques de  : 

b)- Déterminer les valeurs des forces s’exerçant sur le glaçon.

- Valeur du poids : 

- P = m . g  

- P = 10 × 10^{– 3} × 9,8

- P ≈ 9,8 × 10^{– 2} N

- Valeur de la réaction du support :

Le pendule élastique

On réalise l’enregistrement du mouvement de translation d’un solide portant une réglette graduée

de masse m = 50 g se déplaçant sans frottement sur un banc horizontal entre deux capteurs.

Le solide est attaché à un ressort horizontal de masse négligeable et de constante de raideur k,

dont l’autre extrémité est fixée à un support vertical.

La position du centre d’inertie G du solide est repérée le long d’un axe parallèle au banc ;

lorsque le ressort n’est pas étiré, G a une abscisse nulle.

L’acquisition débute quand l’opérateur lance la réglette.

Par traitement du fichier d’acquisition avec le logiciel REGRESSI,

on obtient alors les graphes reproduits ci-dessous pour la position x (t) et la vitesse v (t) de G ;

On constate que x et v sont des fonctions sinusoïdales du temps.

1)- Faire un schéma du dispositif.

2)- Quelle est la position initiale du centre d’inertie G du solide ?

Quel est le sens de la vitesse communiquée au solide par l’opérateur ?

3)- Quelle est l’amplitude du mouvement de G ?

(on rappelle que l’amplitude d’une grandeur sinusoïdale est la valeur maximale de cette grandeur.)

4)- Déterminer la valeur maximale de la vitesse de G.

5)- Calculer la valeur de l’accélération de G :

a)- À l’instant t = 0 s ;

b)- Quand l’abscisse x est maximale ;

c)- Quand l’abscisse x est minimale.

6)- Quelle est la valeur de la constante de raideur k du ressort ?

Le pendule élastique

On réalise l’enregistrement du mouvement de translation d’un solide portant une réglette graduée

de masse m = 50 g se déplaçant sans frottement sur un banc horizontal entre deux capteurs.

Le solide est attaché à un ressort horizontal de masse négligeable et de constante de raideur k,

dont l’autre extrémité est fixée à un support vertical.

La position du centre d’inertie G du solide est repérée le long d’un axe parallèle au banc ;

lorsque le ressort n’est pas étiré, G a une abscisse nulle.

L’acquisition débute quand l’opérateur lance la réglette.

Par traitement du fichier d’acquisition avec le logiciel REGRESSI,

on obtient alors les graphes reproduits ci-dessous pour la position x (t) et la vitesse v (t) de G ;

On constate que x et v sont des fonctions sinusoïdales du temps.

1)- Faire un schéma du dispositif.

2)- Quelle est la position initiale du centre d’inertie G du solide ?

Quel est le sens de la vitesse communiquée au solide par l’opérateur ?

- À l’instant initial, l’abscisse du point G est nulle, sa position coïncide avec l’origine O des espaces.

- Le vecteur vitesse est de sens opposé au vecteur unitaire , la direction : (x’x) et le sens de x vers x’.

3)- Quelle est l’amplitude du mouvement de G ?

(on rappelle que l’amplitude d’une grandeur sinusoïdale est la valeur maximale de cette grandeur).

- Graphiquement, on peut déterminer l’amplitude du mouvement de G :

-  x_M = 0,10 m.

4)- Déterminer la valeur maximale de la vitesse de G.

- Graphiquement, on peut déterminer la valeur maximale de la vitesse de G:

-  v_M = 0,30 m / s.

5)- Calculer la valeur de l’accélération de G :

Animation : CABRIJAVA

a)- À l’instant t = 0 s ;

- À t = 0 s, la vitesse de G est extrémale. Comme

- D’après l’allure des courbes, on peut considérer que :

- 

b)- Quand l’abscisse x est maximale ;

- Quand x = x_m :

- 

c)- Quand l’abscisse x est minimale.

- Quand x = – x_m :

- 

6)- Quelle est la valeur de la constante de raideur k du ressort ?

- Valeur de la constante de raideur k du ressort.

- La deuxième loi de Newton permet d’écrire dans le référentiel terrestre :

- 

-  En travaillant dans le repère  lié au référentiel d’étude, on en déduit la relation suivante :

- Schéma à l’instant t :

- (1)  => P_x  +  R_x  +  T_x  = m . a_x 

-  T_x  = m . a_x

- m . a_x + k . x = 0

- On a vu que :

- 

Frottements sur un plan incliné

Un solide S de masse m = 400 g, abandonné sans vitesse initiale, glisse sur un plan incliné d’un angle α = 35 ° par rapport au plan horizontal.

Un dispositif approprié permet d’enregistrer quelques positions successives G_i du centre d’inertie G à des dates t_i régulièrement espacées :

t_i+1 – t_i = τ = 80 ms.

L’origine des dates correspond à la position G₀. On néglige les dimensions de S et on prend g = 9,8 m / s ².

1)- Établir l’expression de la valeur de a_th de l’accélération théorique qu’aurait G s’il n’y avait pas de frottements ;

Faire l’application numérique.

2)- Soient v_i et a_i les valeurs expérimentales de la vitesse et de l’accélération de G à la date t _i.

-  Reproduire et compléter le tableau suivant en utilisant l’enregistrement ; on indiquera la méthode de calcul utilisée.

3)- Comparer les valeurs de a_i  à celle de a_th calculée dans la première question.

-  On interprète la différence entre a_i et a_th par l’existence de frottements.

-  En supposant ces frottements représentés par une force unique constante , calculer sa valeur f.

4)- À quelle date a-t-on abandonné le solide S sur le plan incliné ?

5)- Le plan incliné est raccordé à un plan horizontal.

-  Le solide S a été lâché sans vitesse initiale à une distance d = 2,00 m de la ligne de raccordement.

-  (on admettra que la passage du solide S sur la ligne de raccordement ne produit pas de choc susceptible de modifier la valeur v de sa vitesse).

- On suppose que les frottements sont représentés par une force unique  de valeur f ’ = 0,75 N  pendant toute la durée du mouvement sur le plan horizontal.

- Quelle distance d’ le solide S parcourt-il sur le plan horizontal avant de s’arrêter ?

Frottements sur un plan incliné

Un solide S de masse m = 400 g, abandonné sans vitesse initiale, glisse sur un plan incliné d’un angle α = 35 ° par rapport au plan horizontal.

Un dispositif approprié permet d’enregistrer quelques positions successives G_i du centre d’inertie G à des dates t_i régulièrement espacées :

t_i+1 – t_i = τ = 80 ms.

L’origine des dates correspond à la position G₀. On néglige les dimensions de S et on prend g = 9,8 m / s ².

1)- Établir l’expression de la valeur de a_th de l’accélération théorique qu’aurait G s’il n’y avait pas de frottements ;

Faire l’application numérique.

- Valeur de l’accélération théorique.

- La deuxième loi de Newton appliqué au système S permet d’écrire que :

- 

- On travaille dans le repère

- Coordonnées des vecteurs et  dans le repère .

- 

- La deuxième loi de Newton permet d’écrire :

- 

- Le mouvement a lieu dans le plan incliné, en conséquence, la somme vectorielle des composantes perpendiculaires au plan incliné est nulle.

- On en déduit les caractéristiques de  :

-  direction : ligne de plus grande pente du plan incliné ;

-  sens ; orienté vers le bas ;

-  valeur :  

- a _th = g cos α

- a _th =  9,8 × cos 35

- a _th ≈ 5,6 m / s²

2)- Soient v_i et a_i les valeurs expérimentales de la vitesse et

de l’accélération de G à la date t _i.

- Reproduire et compléter le tableau suivant en utilisant l’enregistrement ; on indiquera la méthode de calcul utilisée.

- Pour calculer la vitesse moyenne à un instant donnée, on calcule la vitesse moyenne pendant un intervalle de temps très court encadrant l’instant considéré.

- Pour la valeur du vecteur accélération :  le mouvement est rectiligne.

-  Pour connaître la valeur de l’accélération à un instant donné, on calcule la valeur de la variation de la vitesse pendant un intervalle de temps très court encadrant l‘instant considéré.

3)- Comparer les valeurs de a_i  à celle de a_th calculée dans la première question.

-  On interprète la différence entre a_i et a_th par l’existence de frottements.

-  En supposant ces frottements représentés par une force unique constante , calculer sa valeur f.

- Comparaison :

-  a_th > a_exp .

-  En conséquence, les frottements ne sont pas négligeables.

-  Il existe une force de frottement qui s’oppose au mouvement du solide S.

- La deuxième loi de Newton appliqué au système S permet d’écrire que :

- 

4)- À quelle date a-t-on abandonné le solide S sur le plan incliné ?

- Considérons qu’on lâche le mobile à l’instant t’.

-  à cet instant v(t’) = 0.

- 

- Si on se place aux instants  t₁ et t’ :

- 

5)- Le plan incliné est raccordé à un plan horizontal.

-  Le solide S a été lâché sans vitesse initiale à une distance d = 2,00 m de la ligne de raccordement.

-  (on admettra que la passage du solide S sur la ligne de raccordement ne produit pas de choc susceptible de modifier la valeur v de sa vitesse).

- On suppose que les frottements sont représentés par une force unique  de valeur f ’ = 0,75 N  pendant toute la durée du mouvement sur le plan horizontal.

- Quelle distance d’ le solide S parcourt-il sur le plan horizontal avant de s’arrêter ?

Correction :

- On choisit comme origine des espaces la position de départ et comme origine des dates l’instant où le solide occupe cette position.

- Compte tenu des conditions initiales :

- 

- Vitesse atteinte par le solide après un parcours de 2 m sur le plan incliné :

- 

- Si l’on se place sur la partie horizontale, on peut considérer qu’au temps t = 0, la vitesse du solide est v₀ = 3,35 m / s

- La deuxième loi de Newton appliqué au système S permet d’écrire que :

- 

- 

- 

- durée du parcours : la vitesse v_x s’annule lorsque le mobile s’arrête :

- 

- Distance parcourue :

-