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Applications des lois de Newton et de Kepler. Exercices. |
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QCM r
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I- Exercice 9 page 172 : Étudier le lancer du poids.
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Un athlète lance un poids. À la date t = 0 s, correspondant à l’instant du lancer, le poids se trouve à une hauteur h = 2,00 m au-dessus du sol et part avec une vitesse initiale de valeur égale à v0 = 14,0 m . s–1, faisant un angle α = 35,0 ° par rapport à l’horizontale. Le poids est assimilé
à un point matériel
M. Le
champ de pesanteur terrestre est considéré comme
uniforme. Schéma :
On propose trois expressions
littérales possibles de la trajectoire du poids dans
le repère
au référentiel terrestre supposé galiléen. L’objectif de cet exercice est de
déterminer l’expression littérale correcte parmi les
suivantes :
1)-
Trajectoire : a)-
Rappeler la définition de la
trajectoire d’un point matériel en mouvement dans un
référentiel. b)-
Quelle expression peut-on
éliminer ? 2)-
Coordonnées : a)-
Quelles sont les coordonnées
du vecteur position initiale ? b)-
En déduire la proposition
correcte. |
|
1)-
Trajectoire : a)-
Définition de la trajectoire
d’un point matériel en mouvement dans un
référentiel.
-
La trajectoire d’un
point est l’ensemble des positions successives
occupées par ce point au cours du temps.
-
La trajectoire d’un
point mobile dépend du référentiel d’étude.
-
Le mouvement a lieu
dans le plan (xOy), l’équation de la
trajectoire est donnée par la relation du type :
y = f (x). b)-
Expression que l’on peut
éliminer :
-
Il faut éliminer la
relation où intervient le temps t.
-
C’est-à-dire la
relation (C)
-
Elle est du type y
= f (t), c’est une équation horaire. 2)-
Coordonnées : a)-
Coordonnées du vecteur
position initiale et du vecteur vitesse initiale
-
Il faut éliminer
l’expression littérale (A)
-
Dans cette équation
les coordonnées b)-
Proposition
correcte.
-
La bonne proposition
est l’expression littérale (B)
|
II- Exercice 10 page 173 : Faire une analyse dimensionnelle.
|
Pour une planète du système
solaire, la troisième loi de Kepler se traduit par
l’expression :
-
Indiquer la signification de
chaque grandeur et vérifier à l’aide d’une analyse
dimensionnelle que l’expression est homogène. Donnée :
G = 6,67
× 10–11 m3 . kg–1
. s–2. |
|
Analyse dimensionnelle :
-
-
Étude de chaque
expression :
-
L’expression
|
III- Exercice 17 page 174 : Étude du canon à électrons.
|
Un canon à électrons est constitué d’un filament qui, lorsqu’il est porté à haute température, émet des électrons de vitesse initiale négligeable. Ces électrons sont ensuite accélérés à l’intérieur d’un condensateur plan dont les armatures A et B sont verticales et entre lesquelles règne un champ
électrostatique uniforme de valeur
E. Schéma :
On néglige le poids de l’électron devant la force électrostatique. Le référentiel est
supposé galiléen. 1)-
Accélération et vitesse : a)-
Déterminer les coordonnées
du vecteur accélération
On choisira le repère
b)-
En déduire l’expression de
la valeur de sa vitesse à chaque instant. 2)-
Établir les équations horaires de son mouvement. 3)-
Expression et valeur de la vitesse : a)-
Montrer que l’expression de
la vitesse de l’électron lorsqu’il parvient à la
plaque B du condensateur est :
-
b)-
Calculer la valeur vB
de cette vitesse. - Données :
e =
1,60
× 10–19 C ; me =
9,11
× 10–31 kg ; AB = d
= 3,00 cm ; E = 6,00
× 104 V . m–1. |
|
a)-
Coordonnées du vecteur
accélération
- Système :
- Électron,
de masse me et de charge – e,
assimilable à un point matériel M. - Référentiel d’étude :
- Référentiel terrestre supposé galiléen
- Bilan des forces :
- Inventaire des forces extérieures exercées sur
l’électron.
-
Son poids
-
La force
électrostatique
-
L’électron se déplace
dans le vide, il n’y a pas d’interaction avec l’air.
-
On néglige le poids
de l’électron devant la force électrostatique. - En conséquence, l’électron est soumis à la seule force électrostatique :
-
-
Coordonnées des
différentes forces et vecteurs dans le repère
choisi :
-
Conditions
initiales :
-
Application de la
deuxième loi de Newton :
-
Comme la masse me
de l’électron ne varie pas au cours du temps, on
peut en déduire la relation suivante :
-
-
D’où :
-
-
Coordonnées du
vecteur accélération :
-
Coordonnées du
vecteur vitesse :
-
On utilise la
relation
-
Le vecteur
accélération
- La détermination du vecteur vitesse nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée du vecteur accélération
en tenant compte des conditions
initiales.
-
On cherche les
primitives des équations précédentes.
-
Il apparaît des
constantes qui sont liées aux conditions initiales.
b)-
Expression de la valeur de
sa vitesse à chaque instant.
-
2)-
Équations horaires de son mouvement.
-
On opère de la même
façon :
-
Le vecteur vitesse
3)-
Expression et valeur de la vitesse : a)-
Expression de la vitesse de
l’électron lorsqu’il parvient à la plaque B
du condensateur.
-
Lorsque l’électron
est au point B, xB = d.
-
Date tB
à laquelle l’électron atteint la plaque B :
-
On en déduit
l’expression de tB en fonction de
d :
-
-
On remplace t
par cette expression dans vBx :
-
-
-
b)-
Valeur vB
de cette vitesse.
-
-
Le canon à électrons
permet d’accélérer les électrons. |
IV- Exercice 18 page 175 : Neptune et Galatée.
|
Galatée est l’un des 13 satellites actuellement connus de la planète Neptune. Neptune est la huitième planète du système
solaire.
1)-
Troisième loi de Kepler : a)-
Calculer le rapport
b)-
Calculer l’incertitude
existant sur la valeur de Q.
-
On donne : c)-
En déduire un encadrement de
la valeur de Q. 2)-
Neptune : a)-
Calculer le rapport :
b)-
Calculer l’incertitude
existant sur la valeur de Q’.
-
On donne : c)-
En déduire un encadrement de
la valeur de Q’. 3)-
La troisième loi de Kepler est-elle vérifiée dans
cette situation. |
|||||||||||||||
|
1)-
Troisième loi de Kepler : a)-
Valeur du rapport
-
b)-
Incertitude existant sur la
valeur de Q.
-
c)-
Encadrement de la valeur de
Q.
-
Q = (5,79 ±
0,04)
× 10–15 s2 . m–3
-
5,75
×
10–15
s2 . m–3 ≤
Q ≤ 5,83
×
10–15
s2 . m–3 2)-
Neptune : a)-
Valeur du rapport :
-
b)-
Incertitude existant sur la
valeur de Q’.
-
-
En conséquence :
-
c)-
Encadrement de la valeur de
Q’.
-
Q = (5,80 ±
0,06)
× 10–15 s2 . m–3
-
5,74
×
10–15
s2 . m–3 ≤
Q ≤ 5,86
×
10–15
s2 . m–3 3)-
Troisième loi de Kepler.
-
Les intervalles de
Q et Q’ possèdent une partie commune.
-
On peut écrire :
-
-
La troisième loi de
Kepler est vérifiée. |
V- Exercice 20 page 176 : Poids et force électrostatique.
|
Le dispositif
ci-dessus permet de dévier un faisceau d’électrons
grâce à un champ électrostatique uniforme
Bastien se demande si la
déviation observée est due au poids des électrons ou
à la force électrostatique. 1)-
Force électrostatique : a)-
Quelle est l’expression de
la force électrostatique
b)-
Calculer sa valeur de Fe. 2)-
Le poids de l’électron. a)-
Quelle est l’expression du
poids
b)-
Calculer sa valeur Pe. 3)-
Une force
a)-
Peut-on négliger une des
deux forces
b)-
Conclure sur la force à
l’origine de la déviation du faisceau d’électrons.
|
|
1)-
Force électrostatique : a)-
Expression de la force
électrostatique
-
-
b)-
Valeur de Fe.
-
Fe
= e . E
-
Fe
≈ 1,6 × 10–19 ×
50 000
-
Fe
≈ 8,0
× 10–15 N 2)-
Le poids de l’électron. a)-
Expression du poids
-
b)-
Calculer sa valeur Pe.
-
Pe
= me
. g
-
Pe
≈ 9,1
×
10–31
x
10
-
Pe
≈ 9,1
×
10–30
N 3)- Forces
. a)-
Comparaison des forces
-
On compare les
valeurs :
-
-
Pe
<< Fe
-
-
La force
b)-
Conclusion :
-
La force à l’origine
de la déviation du faisceau d’électrons est la force
électrostatique
|
VI- Exercice 21 page 176 : De l’optique avec des électrons.
On considère un
électron de masse
m, de
charge électrique
–e,
initialement animé d’un mouvement rectiligne
uniforme à la vitesse
Il entre au point
O dans
une région délimitée par deux grilles horizontales
entre lesquelles règne un champ électrostatique
uniforme vertical ascendant
Les deux grilles sont séparées d’une distance
d. On négligera le poids de l’électron dans tout l’exercice. Le référentiel est
supposé galiléen.
1)-
Établir les équations horaires du mouvement de cet
électron sachant que le vecteur
2)-
Montrer que l’équation de la trajectoire de
l’électron s’écrit :
-
3)-
Trajectoire : a)-
Quelle est la nature de la
trajectoire de l’électron ? b)-
Dans l’hypothèse où il n’atteint pas la grille, représenter l’allure de la
trajectoire ainsi que le vecteur vitesse au sommet
S de la trajectoire. c)-
Décrire graphiquement les
coordonnées du vecteur vitesse en S. d)-
En déduire la date tS
à laquelle l’électron atteint le point S. e)-
Montrer que le sommet S
de la trajectoire a pour ordonnée :
-
4)-
Quelle est la condition sur la valeur de E du
champ électrostatique pour que l’électron atteigne
la région située au-dessus de la grille supérieure ? 5)-
Mouvement : a)-
Si cette condition est
remplie, comment qualifier le mouvement de
l’électron dans cette région ? b)-
L’électron traverse la
grille avec une vitesse
-
La situation est
représentée sur le schéma suivant :
-
Exprimer le sinus de
l’angle i2 en fonction de v1,
v2 et du sinus de l’angle i1. c)-
Justifier à l’aide de ce qui
précède la phrase du texte en italique. |
|
1)-
Équations
horaires du mouvement de cet électron. - Système :
- Électron,
de masse m et de charge – e,
assimilable à un point matériel M. - Référentiel d’étude :
- Référentiel terrestre supposé galiléen
- Bilan des forces :
- Inventaire des forces extérieures exercées sur
l’électron.
-
Son poids
-
La force
électrostatique
-
L’électron se déplace
dans le vide, il n’y a pas d’interaction avec l’air.
-
On néglige le poids
de l’électron devant la force électrostatique. - En conséquence, l’électron est soumis à la seule force électrostatique :
-
-
Coordonnées des
différentes forces et vecteurs dans le repère
choisi :
-
Conditions
initiales :
-
Application de la
deuxième loi de Newton :
-
Comme la masse me
de l’électron ne varie pas au cours du temps, on
peut en déduire la relation suivante :
-
-
D’où :
-
-
Coordonnées du
vecteur accélération :
-
Coordonnées du
vecteur vitesse :
-
Le vecteur
accélération
- La détermination du vecteur vitesse nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée
du vecteur
accélération en tenant compte des conditions
initiales.
-
On cherche les
primitives des équations précédentes.
-
Il apparaît des
constantes qui sont liées aux conditions initiales.
-
Coordonnées du
vecteur position :
-
Le vecteur vitesse
est la dérivée par rapport au temps du vecteur
position. - La détermination du vecteur position nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée
du vecteur vitesse en tenant compte des conditions
initiales.
2)-
Équation de la trajectoire de l’électron.
-
Pour trouver
l’équation de la trajectoire z = f (x),
on élimine le temps t entre les équations
horaires x (t) et z (t).
-
-
-
On trouve bien
l’expression donnée dans l’énoncé.
-
3)-
Trajectoire : a)-
Nature de la trajectoire de
l’électron :
-
La trajectoire de
l’électron est une portion de parabole de
coefficient négatif.
-
Type : z (x)
= a . x2 + b. x
avec a < 0.
b)-
Allure de la trajectoire
ainsi que le vecteur vitesse au sommet S de
la trajectoire.
c)-
Description graphique du
vecteur vitesse en S.
-
Le vecteur vitesse
-
Coordonnées du
vecteur vitesse
-
d)-
Date tS à
laquelle l’électron atteint le point S.
-
e)-
Côte du sommet S de
la trajectoire :
-
-
On retrouve bien
l’expression donnée dans l’énoncé. 4)-
Condition sur la valeur de E du champ
électrostatique pour que l’électron atteigne la
région située au-dessus de la grille supérieure :
-
Pour que l’électron
atteigne la région située au-dessus de la grille
supérieure, il faut que
-
zS
≥ d
-
5)-
Mouvement : a)-
Mouvement de l’électron dans
cette région.
-
Dans cette région de
l’espace, l’électron n’est plus soumis à la force
électrostatique
-
On néglige toujours
l’action du poids. - L’électron est presque pseudo-isolé. - Il est animé d’un mouvement rectiligne uniforme d'après le principe de l'inertie (première loi de Newton). b)-
Expression de sin i2
en fonction de v1, v2
et de sin i1.
-
À la sortie de la
grille, l’électron vérifie les équations suivantes :
-
Soit le point I,
le point de sortie de la grille :
-
Au point I,
l’électron vérifie les équations suivantes :
-
-
De plus :
-
-
La direction du
vecteur vitesse est donnée par la tangente à la
parabole au point I.
-
Or
-
La vitesse
horizontale reste inchangée : On en déduit la
relation :
-
v1
. sin i1 = v2 .
sin i2 c)-
Justification de la phrase
du texte en italique. - Phrase : Dans certains dispositifs, les faisceaux d’électrons ont un comportement analogue à celui de rayons lumineux.
Il est possible de reproduire les phénomènes de
réflexion et de réfraction. - Ici, on a reproduit le phénomène de réfraction.
- À la sortie de la
grille, l’électron a été dévié et sa trajectoire est
rectiligne.
-
Par analogie, i1
est l’angle d’incidence et i2
l’angle de réfraction.
-
Ces angles vérifient
la relation suivante : v1 . sin
i1 = v2 . sin i2 |
VII- Exercice 22 page 177 : Quelle est la masse de Jupiter ?
|
La planète Jupiter possède de nombreux satellites. On s’intéresse à ceux dont la trajectoire est considérée comme circulaire. Chacun d’eux, modélisé
par son centre de gravité, n’est soumis qu’à la
seule force de gravitation exercée par Jupiter. La distance entre les centres
de gravité de Jupiter et du satellite étudié est
notée
r. 1)-
Force de gravitation : a)-
Quelle est l’expression
vectorielle de la force de gravitation exercée par
Jupiter, de masse M, sur un satellite de
masse m. b)-
Représenter cette force
2)-
Montrer que dans un référentiel, lié au centre de
Jupiter, supposé galiléen, le satellite a un
mouvement uniforme et exprimer la valeur de sa
vitesse. 3)-
Choisir parmi les propositions suivantes ci-dessous
celle qui correspond au satellite le plus rapide.
Justifier la réponse.
-
Le satellite le
plus proche de Jupiter.
-
Le satellite le
plus éloigné de Jupiter.
-
Le satellite le
plus léger.
-
Le satellite le
plus lourd. 4)-
À partir de l’expression de la valeur de la vitesse,
établir l’expression de la période de révolution
T d’un satellite autour de Jupiter. 5)-
Troisième loi de Kepler : a)- L’étude des mouvements de quatre satellites de Jupiter (Callisto, Europe, Ganymède et IO) a permis de déterminer la période et le rayon de l’orbite de chacun. On a représenté pour
chaque satellite les valeurs des couples (r3,
T2).
-
Graphe :
-
Montrer que l’allure
de la représentation graphique est en accord avec la
troisième loi de Kepler. b)-
L’équation modélisant la
droite obtenue est donnée sur le graphique. En
déduire l’ordre de grandeur de la masse M de
Jupiter. Donnée :
G = 6,67
× 10–11 m3
. kg–1 . s–2. |
|
1)-
Force de gravitation : a)-
Expression vectorielle de la
force de gravitation exercée par Jupiter, de masse
M, sur un satellite de masse m.
-
b)-
Représentation cette force
2)-
Mouvement du satellite dans le référentiel lié à
Jupiter.
-
Système S :
Satellite S de masse m.
-
Référentiel
jovicentrique supposé galiléen. - Pour simplifier l’étude d’un tel mouvement et en déduire les caractéristiques, il faut utiliser le repère de Frenet :
Repère mobile lié au satellite
-
-
-
-
Bilan des forces :
Inventaire des forces extérieures exercées sur le
satellite. - Le satellite est en interaction avec Jupiter :
- Force d’interaction
gravitationnelle exercée par Jupiter sur le
satellite :
-
Application de la
deuxième loi de Newton :
-
Comme la masse m
du satellite ne varie pas au cours du temps, on peut
en déduire la relation suivante :
-
-
D’où :
-
-
Le vecteur
accélération est centripète, il est orienté vers le
centre de la trajectoire.
-
L’accélération
tangentielle est nulle.
-
On en déduit que :
-
-
Le satellite est
animé d’un mouvement circulaire uniforme.
-
D’autre part :
-
3)-
La bonne proposition et justification
-
- La valeur de la vitesse du satellite est indépendante de sa masse et la valeur de la vitesse du satellite
augmente
lorsque qu’il est plus proche de Jupiter.
-
« Le satellite le
plus proche de Jupiter ». 4)-
Expression de la période de révolution T d’un
satellite autour de Jupiter.
-
Expression de la
période T : Durée nécessaire pour effectuer
un tour :
-
5)-
Troisième loi de Kepler :
-
Exploitation du
graphique et troisième loi de Kepler.
-
La représentation
graphique de T2 = f (r3)
est une portion de droite passant par l’origine.
-
On peut écrire que
T2 = k . r3
, le nombre k est le coefficient directeur de
la droite tracée.
-
-
On retrouve la
troisième loi de Kepler, appelée loi des périodes :
-
-
Dans le cas présent :
-
b)-
Ordre de grandeur de la
masse M de Jupiter.
-
-
En élevant cette
expression au carré et en ordonnant, on peut
écrire :
-
-
On en déduit la
valeur de la masse M de Jupiter.
-
-
Ordre de grandeur :
M ≈ 1027 kg |
VIII- Exercice 26 page 179 : Principe du spectromètre de masse.
Le principe du spectromètre est
le suivant
- Un vide poussé est
maintenu dans tout l’appareil ;
- Dans la chambre
d’ionisation, les molécules à analyser sont
bombardées par des électrons, ce qui les fragmente
en cations ;
-
Ensuite, ces cations
sortent de la fente F avec une vitesse négligeable
dans le référentiel terrestre du laboratoire supposé
galiléen. On considère des ions i1 et i2 de même charge, mais de masses m1 et m2 différentes, pénétrant dans la chambre d’accélération délimitée par les plaques P et P’ distantes de d. Dans cette chambre règne un champ
électrostatique uniforme
En
O, ces
ions possèdent respectivement les vitesses :
-
Dans la chambre de déviation, on cherche à séparer ces ions avant leur entrée dans la chambre de détection. Le poids des ions sera
négligeable devant les autres forces.
Représentation du spectromètre vu de dessus. 1)-
Comment doit être orienté le champ
2)-
Dans la chambre de déviation règne un champ
magnétique
colinéaire et de même sens que
Les ions
subissent alors une force appelée force de Lorentz
Elle a pour valeur
FL
= qi . vi . B,
ou vi et B sont
respectivement les valeurs des vecteurs
Dans
ces conditions, le mouvement des ions est circulaire
(de centre Ci) et uniforme. a)-
Définir un mouvement
circulaire uniforme. b)-
Rappeler l’expression du
vecteur accélération en fonction des vecteurs
c)-
En admettant que la force
-
d)-
Justifier alors la phrase en
italique dans le texte ci-dessus. 3)- Les ions i1 et i2 atteignent la chambre de détection aux points A1 et A2. Dans cette chambre de détection, il n’existe plus aucun champ. Que dire
alors du mouvement des ions ? 4)-
Expliquer comment la spectrométrie a permis à A.
Dempster de découvrir l’uranium 235. |
|
1)-
Orientation du champ électrostatique
-
Le champ
électrostatique
car les
cations sont soumis à la force électrique
2)-
Chambre de déviation : a)-
Définition du mouvement
circulaire uniforme : - Dans un référentiel donné, un système est animé d’un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est une portion de cercle de rayon R et si la valeur de sa vitesse v est constante.
- Son vecteur
accélération
b)-
Expression du vecteur
accélération :
-
À chaque instant, le
vecteur accélération
se décompose en deux vecteurs :
-
-
Schéma :
c)-
Rayon de la trajectoire :
-
Système S :
cation i de masse mi
-
Référentiel terrestre
supposé galiléen.
-
Conditions
initiales :
-
À l’instant initial,
le cation occupe la position O de l’espace et
la vitesse initiale est vi.
-
-
Bilan des forces :
dans la chambre de déviation, le cation i est
soumis à la seule force de Lorentz :
-
-
On est en présence
d’une force centripète.
-
Application de la
deuxième loi de Newton :
-
Comme la masse mi
ne varie pas au cours du temps, on peut en déduire
la relation suivante :
-
-
D’où :
-
-
L’accélération est
centripète.
-
L’accélération
tangentielle est nulle.
-
On en déduit que :
-
-
Le cation i
est animé d’un mouvement circulaire uniforme de
vitesse vi et de rayon Ri. d)-
Justification de la phrase
en italique :
-
« Dans un
spectromètre de masse, des ions séparés en fonction
de leur masse et de leur charge électrique. »
-
La relation
-
Lorsque vi
augmente, Ri augmente ;
-
Lorsque mi
augmente, Ri augmente ;
-
Lorsque qi
augmente, Ri diminue ;
-
D’autre part, la
vitesse initiale du cation à l’entrée de la chambre
de déviation est donnée par la relation :
-
-
-
Le rayon de la
trajectoire est lié aux caractéristiques du cation.
-
Chaque cation a sa
propre trajectoire circulaire. 3)-
Mouvement des ions dans la chambre de détection :
-
Dans cet espace, les
cations ne sont soumis à aucune force (on néglige
toujours le poids) , ils sont isolés.
-
D’après la première
loi de Newton (principe de l’inertie), les cations
i sont animés d’un mouvement rectiligne uniforme
de vitesse vi. 4)-
Séparation des isotopes de l’uranium :
-
Les ions isotopes 235
et 238 de l’uranium, ayant la même charge, mais
n’ayant pas la même masse ont pu être séparés par le
spectromètre. |
|
|
associé 
.
. 
ou
.
pour
Galatée.
pour Neptune.
perpendiculaire
aux armatures
A et
B.
à
laquelle est soumis l’électron ?
de
l’électron ?
peut être
considérée négligeable par rapport à une force
si
sa valeur F1 est au plus égale au
centième de la valeur F2 de la
force
.
. On note i2
l’angle entre ce vecteur et la verticale.
.
. 
est horizontal est orienté de la gauche vers la
droite.
sur un
schéma.
d
d
.
,
uniforme, orthogonal aux vitesses initiales,
. 
toujours
orthogonale au champ
et
et
du
repère lié à la particule.
