Chap N° 08 Relativité restreinte. Cours, terminale S, 2012

- On considère que le référentiel du laboratoire (référentiel terrestre) se déplace d’un mouvement rectiligne uniforme de vitesse v = 3,0 × 10⁴ m / s par rapport au référentiel héliocentrique, ceci pendant la durée de l’expérience.

- Le référentiel du laboratoire est galiléen.

- La lumière émise par la source S rencontre en O le miroir semi-transparent.

- Une partie de la lumière est réfléchie vers le miroir M₁

- L’autre partie traverse, le miroir semi-transparent, sans être déviée en direction du miroir M₂.

- Après réflexion, en incidence nulle respectivement sur les miroirs M₁ et M₂, le même phénomène se produit sur le miroir semi-transparent.

- Le détecteur permet d’observer le phénomène d’interférence entre les rayons ayant suivi les deux trajets représentés en rouge et en vert.

- On se place dans le cas où le support de ce dispositif, fixe sur la Terre, est orienté de telle sorte que l’axe SOM₂ est parallèle à la direction de la vitesse du support par rapport au référentiel héliocentrique.

- En conséquence, la lumière émise par la source S se propage dans le même sens que de O vers M₂, mais de sens contraire de M₂ vers O.

- En utilisant la règle de composition des vitesses (comme on l’a fait pour les voitures), on peut dire que :

- Par rapport au support,

- La lumière effectue le trajet aller de O vers M₂ à la vitesse : v_a = c – v

- La lumière effectue le trajet retour de M₂ vers O à la vitesse v_r = c + v

- La direction OM₁ est perpendiculaire au vecteur vitesse , le trajet OM₁O est moins affecté par le mouvement.

Calculer la durée τ₁ pour effectuer le trajet OM₁O

Calculer la durée τ₂ pour effectuer le trajet OM₂O :

- Schéma 1 et 2 :

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- On travaille dans le référentiel héliocentrique.

- Le support se déplace d’un mouvement rectiligne uniforme de vitesse v comme indiqué sur le schéma.

- La durée τ₁ :

durée 01

- Aller :

- On note τ_a1la durée nécessaire au rayon rouge pour parcourir la distance OM₁.

- Pendant cette durée, le miroir semi-réfléchissant s’est déplacé de la distance :

- OO’ = τ_a1 . v

- Le rayon parcourt la distance OM₁ à la vitesse c :

- OM₁ = c . τ_a1

- En utilisant le théorème de Pythagore, on écrit :

- (c . τ_a1)² = (D)² + (τ_a1 . v)²

- durée a1

- Retour :

- On note τ_r1la durée nécessaire au rayon rouge pour parcourir la distance M₁O’’.

- De la même façon, on trouve :

- durée a1

- La durée τ₁ :

- durée 01

- Si on compare les valeurs de c = 3,0 × 10⁸ m / s et v = 3,0 × 10⁴ m / s, on remarque que :

- rapport

- On utilise la relation : (1 – ε)ⁿ ≈ 1 – n . ε

- On tire :

- durée 01

- La durée τ₂ :

- Schéma :

schéma

- Aller :

- On note τ_a2la durée nécessaire au rayon vert pour parcourir la distance OM’₂.

- OM’₂ = D + τ_a2 . v

- OM’₂ = c . τ_a2

- durée a2

- Retour :

- On note τ_r2la durée nécessaire au rayon vert pour parcourir la distance M’₂O’’.

- M’₂O’’= c . τ_r2 = D – τ_r2 . v

- durée r2

- La durée τ₂ :

- durée 02

- En faisant la même approximation que précédemment :

- durée r2

En déduire la différence de durée τ entre les trajets OM₂O et OM₁O

- durée

Donner l’expression du rapport τ₂ / τ₁.

- durée 02

- On note :

- expression de gamma

- - τ₂ = γ . τ₁

Calculer la valeur de τ sachant que :

- D = 10 m ; c = 3,0 × 10⁸ m / s et v = 3,0 × 10⁴ m / s,

- Valeur de τ :

- durée : 3,3 E-16 s

Comparer cette valeur à la période d’une radiation de longueur d’onde dans le vide λ = 500 nm.

Justifier l’utilité d’un dispositif d’interférences pour mesurer le décalage attendu.

- Relation fondamentale : λ = c . T

- durée 1,7 E-16 s

- Comparaison :

- T = 5 tau

- Le décalage temporel, τ ≈ 3,3 × 10^–16 s, n’est pas mesurable directement, mais il entraîne un décalage du système de franges de 1/5 de frange que l’on peut facilement observer et mesurer.

►Observations et conclusion :

- Le calcul donne une différence durée

- Les deux faisceaux interfèrent et bien que la vitesse v soit petite devant c, la figure d’interférence devrait être affectée d’une façon mesurable par cette différence τ et dépendre de l’orientation de l’appareil par rapport au vecteur vitesse , ce qui n’a jamais été observé.

- Les expériences de Michelson et Morley devait mesurer l’influence du déplacement de la Terre par rapport à l’éther, mais elle a permis de mesurer l’influence du mouvement de la Terre sur la vitesse de propagation de la lumière, mesurée dans le référentiel terrestre.

- On n’a jamais observé de décalage dans la figure d’interférence.

- En conséquence, la vitesse de la lumière mesurée sur la Terre ne dépend pas du mouvement de celle-ci.

- L’échec de l’expérience de Michelson et Morley a permis de remettre en cause la mécanique classique (mécanique galiléenne et newtonienne) et a permis l’émergence d’une nouvelle théorie :

- La relativité restreinte.

- La relativité restreinte considère que la vitesse de la lumière est invariante, c’est-à-dire que sa valeur ne dépend pas du référentiel d’étude.

- Ces deux théories ne sont pas incompatibles, car l’application de la relativité restreinte à des systèmes à faible vitesse permet de retrouver les conclusions de la mécanique galiléenne.

3)- Insuffisance de la mécanique classique :

- Selon les lois classiques du mouvement, si deux mobiles A et B se déplacent avec des vitesses et par rapport à un référentiel galiléen,

- Pour un passager de A (référentiel), le véhicule B (mobile) se déplace à la vitesse

- Il en va de même si le mobile B est remplacé par une onde.

- Cette loi de composition des vitesses ne s’applique pas aux ondes lumineuses.

- La mesure de la vitesse de propagation de la lumière dans le vide par rapport à la Terre donne toujours la même valeur c.

- Cette valeur c est indépendante de la vitesse de déplacement de la Terre par rapport au Soleil.

- Tenant compte de ces résultats, Albert Einstein publie en 1905, une nouvelle théorie connue sous le nom de relativité restreinte.

4)- Énoncés des postulats.

►Postulat 1 :

- Les lois de la physique s’expriment de la même façon dans tous les référentiels galiléens.

►Postulat 2 :

- La vitesse de propagation de la lumière dans le vide est indépendante du mouvement de la source lumineuse et elle est invariante dans tout changement de référentiel galiléen.

►Conséquences :

- Il existe une vitesse limite, égale à la célérité c de la lumière dans le vide.

- Cette vitesse limite ne peut être dépassée par aucun et signal et aucune particule.

- Elle ne peut être atteinte que par les particules de masse nulle comme le photon.

II- La relativité restreinte.

1)- Introduction.

a)- Notion d’évènement :

- Un évènement est un phénomène objectif observable, c’est un fait se produisant à un endroit donné.

- Exemple d’évènement : un éclair, une explosion, l’aiguille d’une horloge qui coïncide avec l’indication du cadran, impulsion lumineuse, …

- Pour repérer un évènement, il faut choisir un référentiel et lui attribuer des coordonnées spatio-temporelle (x, y, z, t).

b)- Synchronisation des horloges.

►Un exemple de synchronisation :

- Pour synchroniser deux horloges fixes dans un même référentiel, on peut procéder de la manière suivante :

- Un observateur situé en A de l’espace envoie une impulsion lumineuse à la date t_A

- Puis une autre à la date t_A + T₀ où T₀est la période de l’horloge placée en A.

- Un observateur placé en B de l’espace veut synchroniser son horloge avec celle de l’observateur situé en A.

- L’observateur B ajuste la période de son horloge à T₀ à l’aide des signaux qui lui arrivent

- Il renvoie le signal à l’aide d’un miroir

- L’observateur A reçoit en retour les deux signaux lumineux aux dates t’_A et t’_A + T₀

- Pour régler l’heure, l’observateur B note la date d’arrivée du signal lumineux avec son horloge, détermine l’écart avec la valeur que lui a communiqué l’observateur A.

- Puis règle son horloge, si nécessaire, pour compenser l’écart mesuré.

horloge

c)- Temps et durée

- Le temps est une grandeur mesurée par une horloge.

►Cas de la physique classique (Galilée et Newton).

- Le temps est absolu.

- Il est le même dans tout le référentiel et dans tous les référentiels.

- Le temps s’écoule indépendamment des conditions extérieures.

- Le temps s’écoule de la même façon pour tout observateur qu’il soit immobile ou en mouvement par rapport à un référentiel galiléen.

►Cas de la relativité restreinte (Einstein).

- Le temps dépend du référentiel d’étude.

- Le temps ne s’écoule pas de la même façon pour tout observateur.

- La durée séparant deux évènements dépend du référentiel d’étude.

►Cas des horloges immobiles :

- Deux horloges immobiles l’une par rapport à l’autre mesurent les mêmes durées.

- En conséquence : t_A2 – t_A1 = t_B2 – t_B1

►Cas d’horloge en mouvement par rapport à une autre horloge.

- Une horloge en mouvement et une horloge fixe ne mesurent pas les mêmes durées entre les évènements 1et 2.

- On considère que le référentiel A se déplace à la vitesse par rapport au référentiel B.

- Dans le référentiel A :

- Schéma :

horloges

- relation

- Dans le référentiel B, l’observateur B est immobile et voit le référentiel (et l’horloge) se déplacer à la vitesse

- Schéma :

schéma

- À l’aller, le signal arrive sur le miroir au bout de la durée τ₁ et met la durée τ₂ pour le retour.

- Pendant la durée τ₁, l’ensemble s’est déplacé de la distance (v . τ₁)

- En utilisant Pythagore, on peut écrire que :

- (c . τ₁)² = d² + (v . τ₁)²

- De même pour le retour, on écrit :

- (c . τ₂)² = d² + (v . τ₂)²

- On tire de ces expressions :

- durées 01 et 02

- En conséquence :

- variation

- Δt_B ≠ Δt_A

- On peut calculer le rapport Δt_B / Δt_A

- rapport

- On note : expression de gamma avec γ ≥ 1

- On remarque que : Δt_B ≥ Δt_A

d)- Notion de temps propre ou durée propre

- Le terme temps propre a été introduit par Minkowski en 1908.

La durée propre ΔT₀, est la durée séparant deux évènements mesurés par une horloge fixe ayant lieu au même point dans un référentiel galiléen (R).

- Cette durée ΔT₀ est mesurée par une horloge fixe, proche des deux évènements dans le référentiel (R).

- On utilise les termes de « temps propre » ou « durée propre » (on préfère le terme « durée propre »).

- Une durée propre concernant un objet est une durée mesurée par une horloge immobile dans le référentiel propre à cet objet.

e)- Temps mesuré ou durée mesurée.

La durée mesurée ΔT’ est la durée séparant deux évènements mesurés par une horloge fixe ayant lieu au même point dans un référentiel galiléen (R’) en mouvement par rapport au référentiel galiléen (R).

- Dans le référentiel (R), on mesure la durée propre.

- Dans le référentiel (R’), on mesure la durée mesurée.

- Le référentiel (R’) est en mouvement par rapport au référentiel (R).

f)- Relativité du temps.

- Les durées ΔT’ et ΔT₀ sont liées par la relation de dilatation temporelle :

- ΔT’ = γ . ΔT₀

- Le coefficient γ (gamma), sans unité, est donné par la relation :

expression de gamma

γ : grandeur sans unité, γ ≥ 1

v : valeur de la vitesse relative d’une horloge par rapport à l’autre, unité : m / s

c : valeur de la vitesse de la lumière dans le vide : unité : m / s.

- Remarques :

- Deux horloges en mouvement relatif ne mesurent pas la même durée entre deux évènements

- ΔT’ ≥ ΔT₀

- C’est le phénomène de dilatation des durées.

- Une horloge qui se déplace par rapport à un observateur bat plus lentement qu’une horloge immobile par rapport à l’observateur.

g)- Application :

- On considère une sonde spatiale se déplaçant à la vitesse v = 1,0 × 10⁵ m / s par rapport à un référentiel terrestre supposé galiléen.

- Quel est l’écart relatif entre la durée propre et la durée mesurée dans le référentiel terrestre.

- Réponse :

- ΔT’ ≥ ΔT₀

- écart relatif

- Lorsque la vitesse v << c, la dilatation de temps est imperceptible.

III- Physique classique et relativité restreinte.

1)- La vitesse v est petite devant c.

- Le postulat d’Einstein est compatible avec les lois de la mécanique classique de Galilée et Newton.

- Si v << c, alors γ ≈ 1 et ΔT’ ≈ ΔT₀

- Dans ce cas, la mesure de la durée est indépendante du référentiel choisi.

- Dans le cas où la valeur de la vitesse relative v entre les horloges est faible par rapport à la valeur de la vitesse de propagation de la lumière dans le vide c, la dilatation des durées n’est plus perceptible, mais l’écart peut être mesuré par les horloges atomiques actuelles.

- Exemple :

- La mesure du temps dans un système de localisation (GPS) est d’une telle précision que la relativité du temps doit être prise en compte.

- La bonne marche d’un tel système valide la théorie d’Einstein.

- Sans synchronisation, les horloges embarquées dans les satellites de localisation (GPS) seraient décalées par rapport à l’horloge terrestre.

2)- La vitesse v est voisine de c.

- Les physiciens des particules étudient des particules dont les vitesses sont proches de la vitesse de la lumière dans le vide.

- On parle alors de particules relativistes.

- La mécanique classique est dans ce cas totalement inadaptée pour l’étude des particules relativistes.

- En physique des particules, la relativité restreinte fait partie de l’expérience quotidienne.

- Exemple :

- Des particules instables, présentes dans les accélérateurs de particules (CERN) peuvent être observées pendant des durées très supérieures à leur durée de vie propre.

- C’est une preuve expérimentale de la dilatation des durées.

IV- Application.

1)- La localisation par GPS.

a)- Les satellites de localisation GPS.

- Le GPS (Global Position Système) comprend un ensemble de 24 satellites.

- Chaque satellite embarque une horloge atomique de haute précision et évolue sur une orbite circulaire autour de la Terre.

- Il émet régulièrement un signal électromagnétique indiquant la date d’émission et sa position par rapport à la Terre.

- Le GPS situé dans une voiture (par exemple) détecte la date d’arrivée du signal.

- Avec ces deux informations, date d’arrivée et date d’émission, le récepteur calcule la durée de propagation du signal et en déduit la distance qui le sépare du satellite.

b)- Principe de localisation.

- Le principe de localisation GPS repose sur la localisation par triangulation.

- Pour localiser un point M à la surface du globe terrestre, il faut entrer en contact avec 4 satellites :

- Avec le satellite A, le point M est localisé sur une sphère de rayon R égale à la distance qui le sépare du satellite.

- Avec deux satellites, A et B, le point M est localisé à l’intersection de deux sphères. Une telle intersection est un cercle.

- Avec trois satellites, A, B et C, le point M est localisé à l’intersection de trois sphères.

- Une telle intersection donne deux positions possibles.

- Le rôle du quatrième satellite permet de lever l’ambiguïté restant entre les deux positions précédentes.

c)- Gestion du temps.

- Pour minimiser l’erreur sur les distances, toutes les horloges doivent être parfaitement synchronisées.

- Pour déterminer une distance à dix mètres près, quelle doit être l’incertitude Δt sur la mesure de la durée du trajet ?

- On peut écrire :

- durée 33 ns

- Les horloges atomiques embarquées à bord de satellites sont bien plus précises que cela.

- En revanche, le récepteur GPS d’une voiture ne peut disposer d’une telle horloge chère et volumineuse.

- Pour contourner cette difficulté, l’horloge électronique du GPS d’une voiture est régulièrement remise à l’heure à l’aide des signaux provenant des satellites.

d)- La relativité et le GPS.

- Les satellites GPS ne sont pas des satellites géostationnaires.

- Ils se déplacent à près de 20000 km d’altitude avec une vitesse voisine de 3,9 x 10³ m / s dans le référentiel géocentrique.

- À cause de cette vitesse, leurs horloges retardent de 7 μs par jour par rapport aux horloges terrestres.

- Ce retard relève de la théorie de la relativité restreinte.

- À cela s’ajoute un effet lié à la gravitation qui est lié à la théorie de la relativité générale.

- Cette théorie prévoit que deux horloges identiques soumises à une gravité différente ne battent pas au même rythme.

- À cause de ce deuxième phénomène, les horloges des satellites GPS avancent de 45 μs par jour par rapport à une horloge située au sol.

2)- Expérience de la lanterne sur le mât d’un bateau.

3)- QCM.

QCM sous forme de tableau.

QCM réalisé avec le logiciel QUESTY

4)- Exercices : Exercices : énoncé et correction

a)- Exercice 9 page 219 : étudier un électron dans un tube cathodique d’un téléviseur.

b)- Exercice 11 page 220 : exploiter la relation entre durée propre et durée mesurée.

c)- Exercice 15 page 220 : une période variable.

d)- Exercice 18 page 222 : Expérience de Bertozzi

e)- Exercice 20 page 223 : Quand les durées se dilatent.

f)- Exercice 26 page 225 : L’énergie relativiste.