Partie II : Étude expérimentale du mouvement.

Une capture vidéo permet d’obtenir la courbe ci-dessous.

Fichier Excel

1.  Justifier que l’ampoule atteint une valeur constante v_ℓ et la déterminer.

2.  Montrer que .

-  Données :

-  Coefficient de frottement : k = 8,8 × 10^–3 kg . s^–1

-  Intensité de la pesanteur : g = 9,81 m . s^–2.

Correction

Partie I : Étude théorique du mouvement :

1.  Représentation des forces s’exerçant sur l’ampoule en mouvement.

-  Système : S = {m, G)

-  Référentiel d’étude ; référentiel terrestre lié au tube en verre.

-   

-  Bilan des forces :

-  Poids de l’ampoule : avec  P = m . g

-  Poussée d’Archimède : avec π = ρ_r (θ) . g . V

-  Force de frottement : avec f = f = k . v_G

-  Schéma :

-  Coordonnées des différents vecteurs

-   

-   

-   

2.  Valeur a_G de l’accélération et v_G de la vitesse de G

►  Deuxième loi de Newton :

-  Dans le cas présent :

-   

-   

-   

-  Coordonnées du vecteur accélération :

- 

-  Relation entre a_G et v_G :

-   

-  a_G = A – B . v_G.

-  Expression de A et B en fonction de m, g, k, ρ_r (θ) et V.

-  En identifiant :

-   

3.  Calcul de A et B.

-  Valeur de A :

-   

-  Valeur de B :

-   

Partie II : Étude expérimentale du mouvement.

1.  Justification que l’ampoule atteint une valeur constante v_ℓ.

-  Étude du graphe v_G = f (t) :

-  La courbe  v_G = f (t) présente une asymptote horizontale.

-  Au cours du mouvement, l’ampoule atteint une vitesse limite v_ℓ

-  Exploitation graphique : c’est la valeur asymptotique de la vitesse :

-  Valeur de la vitesse limite v_ℓ.

-  v_ℓ ≈ 13 mm . s^–1

2.  Relation :  .

-  Retour sur la deuxième loi de Newton :

-   

-  La force de frottement  : au départ

-  On peut distinguer deux grandes lois de variation pour la valeur de la force de frottement fluide .

-  Lorsque la vitesse limite atteinte est « faible », la force de frottement fluide est de la forme :

-   f = k . v_G

-  Lorsque la vitesse limite atteinte est « grande », la force de frottement fluide est de la forme :

-  f = k . v_G²

-  Au départ, la valeur de la force de frottement est nulle.

-  Le poids étant supérieur à la poussée d’Archimède, l’ampoule descend avec une vitesse v_G croissante.

-  Au cours de la chute, la valeur de la force de frottement fluide, qui s’oppose au mouvement, augmente.

-  La valeur de la vitesse v_G continue à augmenter mais de moins en moins rapidement.

-  Si la durée de la chute est suffisante, la bille atteint une vitesse limite.

-  Alors la vitesse de l’ampoule est constante.

-  L’ampoule est animée d’un mouvement rectiligne uniforme.

-  Elle est soumise à des actions dont les effets se compensent : c’est la réciproque du principe de l’inertie.

-  Le mouvement de l’ampoule dans le fluide comprend deux phases :

-  Un régime transitoire au cours de laquelle la vitesse v_G augmente et

-  un régime permanent où la bille a atteint sa vitesse limite v_ℓ.

-  Dans ce cas : , l’accélération est nulle et v_G = v_ℓ

-  a_G = A – B . v_ℓ = 0

-   

-  Application numérique :

-   

Chute verticale avec frottement :

Chute dans un fluide :

-   

-  Le centre de masse G parcourt des arcs égaux pendant des durées égales.

-  La valeur de la vitesse est constante, mais sa direction change au cours du temps

-  La distance CG au cours du déplacement vaut CG = R ≈ 12 m

-  La trajectoire du centre de masse G est circulaire de centre C et de rayon R = 12 m.

-  En conclusion, le mouvement du centre de masse G est circulaire uniforme.

-  Valeur de la vitesse :

-  L’angle balayé par le rayon vecteur pendant Δt = 30 s vaut :

-   

-  α ≈ 16,4 °

-  Longueur de l’arc parcouru par G :

-  D = R . α = 12 × 0,286

-  D ≈ 3,4 m

-  Vitesse du centre de masse G dans le référentiel R :

-   

 2.  Expression les coordonnées du vecteur accélération du centre de masse G du système, dans un repère de Frenet.

-  Le repère de Frenet :

-  Ce repère est bien utile pour l’étude des mouvements circulaires (uniformes)

-  Considérons un point mobile G animé d’un mouvement circulaire uniforme.

-  La trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R  et la valeur de la vitesse ne change pas au cours du temps.

-  Pour simplifier l’étude d’un tel mouvement et en déduire les caractéristiques, il faut utiliser le repère de Frenet :

-   

-  désigne un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

-  désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à et orienté vers le centre O du cercle.

-  Schéma :

-  Expression de l’accélération :

-   

-  Accélération tangentielle  qui dépend de la variation de la valeur de la vitesse :

-  avec

-  Accélération normale  qui est liée à la variation de la direction du vecteur vitesse.

-  avec

-  Autre expression du vecteur accélération :

-   

-  Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme :

-  L'accélération tangentielle est nulle, car 

-  Le vecteur accélération est alors centripète et sa valeur a est constante.

-   

-  Le mobile parcourt des arcs égaux pendant des durées égales.

-  Valeur de l’accélération du centre de masse G du système

-   

-  Comparaison avec la valeur de 1/100 de  g = 9,81 m . s^–2

-   

- 

-  En conséquence, le roulis est négligeable.