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Devoir N° 7 |
Additif. Equation différentielle |
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2. Résolution de l’équation différentielle non linéaire à coefficients constants (2). 3. Résolution de l’équation différentielle non linéaire à coefficients constants (2)'. |
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1.1. Premier cas : Système : balle de masse m, référentiel : terrestre supposé galiléen. Le repère : la chute de la balle est verticale : On peut prendre un axe vertical orienté du haut vers le bas : Représentation à l’instant t : |
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La Deuxième loi de Newton : Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie. On écrit :
On peut poser v x = v car v x est positif. La grandeur
v représente la valeur de la vitesse,
grandeur positive. |
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-
Type de l’équation différentielle :
1.2. Deuxième cas : Système : balle de masse m, référentiel : terrestre supposé galiléen. Le repère : la chute de la balle est verticale : On peut prendre un axe vertical orienté du bas vers le haut : Représentation à l’instant t : |
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La Deuxième loi de Newton : Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie. On écrit :
Remarque : v x = - v car v x est négatif avec l'orientation choisie . La
grandeur
v représente la valeur de la vitesse,
grandeur positive. |
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- Type de l’équation différentielle :
- Remarque : en remplaçant v x = – v dans l’équation (2), - on obtient :
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2.
Résolution de l’équation différentielle non linéaire à
coefficients constants :
(2).
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-
On pose pour généraliser l’expression :
-
L‘équation devient :
- On sépare les variables :
- Étude de l’expression :
-
En considérant que
-
- Or : - - En conséquence : -
- En remplaçant dans l’expression 2 : - - En identifiant :
- On peut écrire l’expression suivante : -
- Par intégration, on peut écrire : - - Que l’on peut aussi écrire :
- On peut réduire cette expression : -
- On peut continuer pour trouver l’expression de v en fonction du temps : -
- En ordonnant, on obtient l’expression suivante : -
- Utilisation des conditions initiales : - Au temps t = 0 s, la vitesse de la balle est nulle en conséquence, K 1 = 1 : -
- Remarque : La vitesse limite atteinte par la bille est donnée par la relation : -
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3.
Résolution de l’équation différentielle non linéaire à
coefficients constants :
(2)’.
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-
On pose pour généraliser l’expression :
-
L‘équation devient :
-
On sépare les variables :
-
Étude de l’expression :
-
En considérant que
-
- Or : -
- En conséquence : -
- En remplaçant dans l’expression 2 : -
-
En identifiant :
- On peut écrire l’expression suivante : -
- Par intégration, on peut écrire : -
- On peut réduire cette expression : -
- On peut continuer pour trouver l’expression de v en fonction du temps : -
- En ordonnant, on obtient l’expression suivante : -
- Utilisation des conditions initiales : - Au temps t = 0 s, la vitesse de la balle est nulle en conséquence, K 1 = – 1 : -
- Remarque : La vitesse limite atteinte par la bille est donnée par la relation :
-
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4. Représentations graphiques :
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Équation
différentielle du premier ordre non linéaire |
|||||||
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vlim2 |
35 |
m |
5,30E-02 |
intervalle
de temps : |
δt =
|
0,2 |
|
|
g
=
β |
9,81 |
a2 =
|
8,01E-03 |
k2 = |
4,24E-04 |
racine
(k.g/m) = |
0,28028571 |
|
vlim1 |
30 |
a1 =
|
1,09E-02 |
k1 = |
5,78E-04 |
racine
(k.g/m) = |
0,327 |
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équation différentielle (2) :
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équation différentielle (2)’ :
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(1)
(1)
(2)’
(2)
(1)
(2)
, on peut écrire que :
.
(1)
(2)
, on peut écrire que :
.
