D’après Encyclopædia Universalis (1998).

(Certains renseignements et données sont nécessaires à la résolution du sujet).

Le premier lanceur Ariane est une fusée à trois étages dont la hauteur totale est de 47,4 m

et qui pèse, avec sa charge utile (satellite), 208 tonnes au décollage.

 Le premier étage, qui fonctionne pendant 145 s est équipé de 4 moteurs Viking V alimentés

par du peroxyde d'azote N₂O₄ ( masse de peroxyde emportée :  147 tonnes).

L'intensité de la force de poussée totale  de ces 4 moteurs est constante pendant leur fonctionnement : elle vaut F = 2445 kN.

Le lanceur peut mettre en orbite circulaire basse de 200 km d'altitude un satellite de 4850 kg ; 

Il peut également placer en orbite géostationnaire un satellite de 965 kg ; 

Il peut être aussi utilisé pour placer en orbite héliosynchrone des satellites très utiles pour les applications météorologiques.

1)- L'ascension de la fusée Ariane :

Le champ de pesanteur est supposé uniforme : g₀ = 9,8 m/s².

On choisit un axe Oz vertical vers le haut.

On étudie le mouvement de la fusée dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

a)- Représenter sur un schéma en les nommant les deux forces qui agissent sur lafusée Ariane lorsqu'elle s'élève verticalement.

On néglige les frottements et la poussée d'Archimède.

Schéma :

b)- A un instant quelconque, la masse de la fusée est m. Déterminer en fonction de m et des intensités des deux forces précédentes la valeur de l'accélération a.

 Intensité des deux forces :

-    Le poids de la fusée : 

-    Le théorème du centre d’inertie appliquée à la fusée par rapport à un référentiel galiléen (deuxième loi de Newton) :

-    Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale

au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie. On écrit :

-     

-     (2)

-    On travaille dans le repère  lié au référentiel d’étude.

-    On projette la relation (2) sur l’axe Oz :  

c)- On considère d'abord la situation au décollage. La masse de la fusée vaut alors m₁.

Calculer la valeur numérique de l'accélération a à cet instant.

On envisage lasituation qui est celle immédiatement avant que tout le peroxyde d'azote ne soit consommé.

La masse de la fusée vaut alors m₂. Calculer la valeur numérique de m₂  puis celle de l'accélération a₂  à cet instant.

Le mouvement de la fusée est-il uniformément accéléré ?

-  Nature du mouvement de la fusée :

-    

-    Masse de la fusée lorsque tout le peroxyde d’azote est consommé :

-    m₂ = m₁ – m

-    m₂ ≈ 208 – 147,5

-    m ₂ ≈ 60,5 tonnes

-    Accélération de la fusée :

- 

-    Au cours du temps, l’accélération varie, elle augmente.

-  Elle n’est pas constante.

-  Le mouvement de la fusée n’est pas uniformément accéléré.

d)- La vitesse d'éjection   des gaz issus de la combustion du peroxyde d'azote est donnée par la relation :

où  est la variation de la masse de la fusée par unité de temps et caractérise la consommation des moteurs.

Vérifier l'unité de V_e par analyse dimensionnelle.

Calculer la valeur numérique de V_e.

Quel est le signe de  ? En déduire le sens de  . Qu'en pensez vous ?

A l'aide d'une loi connue que l'on énoncera, expliquer pourquoi l'éjection des gaz propulse la fusée vers le haut.

2)- Étude du satellite situé à basse altitude (h = 200 km)

on s'intéresse au mouvement d'un satellite S, de masse m ₁, en orbite circulaire ( rayon r) autour de la terre de masse M_T, de rayon R_T et de centre O.

On suppose que la terre est une sphère et qu'elle présente une répartition de masse à symétrie sphérique et que le satellite est assimilé à un point.

a)- Préciser les caractéristiques du vecteur accélération   d'un point animé d'un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v.

b)- Énoncer la loi de gravitation universelle. On appelle G la constante de gravitation universelle.

Faire un schéma sur lequel les vecteurs forces sont représentés.

c)- Le satellite est à l'altitude h tel que r = R_T + h.

On appelle  la force qu'exerce la terre sur le satellite.

Cette force dépend de la position du satellite et on pose  .

On note g(h) l'intensité de la pesanteur   à l'endroit où se trouve le satellite : 

Exprimer g (h) en fonction de M_T, R_T, G et h puis en fonction de R_T, h et g₀.

d)- Appliquer la deuxième loi de Newton au satellite en orbite circulaire.

En déduire l'expression de la vitesse v_S du satellite en fonction de g₀, R_T et h puis celle de sa période T_S.

e)- Application numérique : g₀ = 9,8 m / s² ; h = 200 km et R_T = 6400 km.

 Calculer v_S et T_S.